第526章 顾铭因子

(去读书 www.qudushu.la)    当格兰特局部因子公式是错的这几个字出现在论坛里的时候。

    整个 mathoverflow都炸了。

    【刚才李东说了些什麽？】

    【我没看错吧？他居然说格兰特公式是错的？】

    【他疯了吧？】

    【为了保自己的学生，连格兰特局部因子公式都敢喷？】

    【楼上的，你注意点，这可是李东。】

    【李东怎麽了？菲尔兹奖得主就可以将一条用了 30年的定理给判死刑咯？】

    可以说，李东的这句话，把全世界的数学学者都给惊呆了。

    有人在这个回帖里艾特了哈尔沃森教授

    但哈尔沃森教授却始终没有回复。

    倒是陶哲轩在这里回了一条消息。

    【大家先别下定论，在李东教授给出证据之前，我觉得站队是没有任何意义的。】

    【不过呢，我还是建议大家先去把格兰特的原始论文找出来看一看。】

    【那篇论文也不长，才 40来页。】

    大概 10分锺以後，这条回复下面又多出了一条新的回复。

    【我刚去我们学校的图书馆，借了格兰特的论文。】

    【你们猜一下，上一次有人借这本论文的纸质版是什麽时候？】

    【什麽时候？】

    【大概 19年前。】

    这个答案一出来，论坛里就安静了下来。

    一条已经写进教科书里的定理，30年被人引用了上千次。

    但是他的原始论文却已经有 19年没有人借过了。

    这件事，让论坛里的同行们都不知道该怎麽说了。

    直到第二天，李东又在这个帖子下面留言了。

    【顾铭，最近我还有事，先给你留道题。】

    【你去把哈尔沃森教授 comment里面的那个素数 p换成任何一个除以 l余数不是1的素数。】

    【记得两边都要再算一下，算完了，你把结果告诉我。】

    【我晚点会再来看的。】

    李东对数学界同行们要说的话，在他感谢完哈尔沃森教授之後，其实就已经说完了。

    现在的这些话，他都是对顾铭说的。

    看到李东的回复，论坛里的人全都懵逼了。

    不是，你怎麽还在这留作业了呢？

    你把这当成你的课堂了？

    【我堂堂副教授在这里看别人布置作业？】

    【所以你做不做李东教授布置的题啊？】

    【做啊。】

    论坛里的同行们，嘴里虽然都骂骂咧咧的，但是身体却很诚实。

    毕竟这是李东教授在上课，像这种可以光明正大旁听的机会不多，你不蹭，那就是你的损失。

    於是当天下午，就有人陆续的将结果贴到了这个帖子的下面。

    【l= 3，p =5的时候，两边的结果不一样。】

    【l= 3，p =11的时候，也是不一样的结果。】

    【p = 17的时候，结果一致。】

    【但是 p = 7的时候就对不上了。】

    【差值和哈尔沃森教授算出来的一样。】

    【p=13也对不上。】

    【31也是，但是 29却是一样的。】

    各种答案纷纷地被贴了出来，直到晚上，有人把所有的答案整理成了一张表格。

    【大家可以来看一下我整理出来的答案。】

    【两边结果不一样的有 7、13、31、61。】

    【而结果一样的，则是 5、11、17、23、29。】

    这个表格整理出来以後，很快就有人发现了其中的一个关键点。

    【各位，我好像发现了一个规律。】

    【这些对不上的素数，它们除以 3以後，余数全部都是 1。】

    【这并不是误差，有点像，有点像是一种结构。】

    【这个结构是?整除p?1？】

    【所以谁能告诉我，这意味着什麽？】

    【意味着 p的数域里，住着 l次单位根。】

    看见单位根这个词的时候，做类群统计的学者们都觉得後背一阵发凉。

    要知道，在一个数域的类群里，对象本来应该是各自独立的。

    你一个一个的数，该是多少它就是多少，不会有任何问题。

    可是一旦加上单位根的话，情况就完全变了。

    单位根就像一面镜子一样，立在了所有的对象面前。

    而这些镜子里的对象，也会同它们的本体一起参与群运算。

    如果这个时候你再按照没有镜子的规则去数，那你就一定会数错。

    【所以……格兰特公式能够处理单位根吗？】

    【我刚去把格兰特那篇论文又读了一遍，在第五章的时候，他用了一个统一的控制条件，把所有的 p一锅端了。】

    【那麽问题来了，那个控制条件在单位根进来的时候，还成立吗？】

    这个回帖发出来以後，很久都没有人回复。

    显然，他们都是去验算了

    3小时後，终於有一条新的回复出现了。

    【我刚才试了，结果……】

    这条帖子只发了一半，就没有再说了，也没有人追问。

    因为大家都已经发现问题了

    当 p除以 l余一的时候，局部结构里会多出一组对称性。

    本来是各自独立的对象，被 l次单位根所生成的自同构两两配对成了轨道。

    这个效应是乘性的，它可不止让误差变大了一点点，而是直接把误差放大了一个量级。

    所以，格兰特引理 5.2中的那个控制函数，在这些素数上就不再有一致性。

    甚至交换求和与取极限，也失去了合法性。

    当所有人都认清这个事实以後，新的帖子也一条一条地出现了。

    【我已经试了十几遍了，格兰特的控制条件在 p≡1 (mod?)的分支上，确实有点立不住。】

    【轨道的权重直接就把一致收敛性打穿了。】

    【对，自同构群的阶在这些素数上跳了，权重也在跟着跳，这不是微调就能够搞定的事，我估计整个估计链都得重写。】

    【我已经测到 l＝ 5和 l = 7了。】

    【只要 l整数除以 p减1，格兰特的控制条件就会失效，这不是个例。】

    大家一直在说着自己的发现，最後终於有人说了一句。

    【你们有没有注意到这个错误的模式有点眼熟啊？】

    【隐性的交换求和与极限，靠一个默认的控制条件来兜底。但这个控制条件在某一个分支上就会失效。】

    这个回复一出来，不少人终於反应了过来。

    半年前，顾铭在 arxiv上挂过一篇论文。

    《cohen-lenstra-martinet猜想五次非阿贝尔数域上的第一矩无条件收敛。》

    这篇论文，学界的评价是非常高的，好几位数论教授都做了独立的局部验证。

    没有发现任何的问题，可是顾铭却主动撤了稿。

    而且声称这篇论文在证明的过程中存在不够严谨的地方。

    当时所有人都在猜测到底是哪里不严谨，可最後谁也没有发现问题

    现在再回头看的话，那篇论文里，顾铭是不是也用了一个类似的手法？

    同样是隐性的交换求和与极限。

    用一个看起来无害的控制条件来做兜底。

    【半年前，顾铭那篇第一矩的论文是不是也用了同样的方法？】

    【方向和对象不一样，但手法确实是同构的。】

    【所以顾铭当时就发现了这个地方不够严谨，所以撤掉了这篇论文？】

    论坛上再一次的安静了，直到一个小时後，终於有人说出了和李东一模一样的话。

    【格兰特局部因子公式是错的。】

    【楼上的你也疯了？】

    【我没疯，我已经把格兰特论文里的引理 5.2，在p≡1(mod?)的全部分支上，验证了四五遍了。】

    【我的结果证明，格兰特局部因子公式，它就是错的。】

    【你们要是谁不信，把那一步的一致有界性在轨道加权下重新验证通过，那我就当场删号认错。】

    这一条挑战的回复，没有任何人敢应战。

    直到次日上午，李东他又来了。

    【呦，我的学生没交作业，大家反而交了。】

    【行，那我就给大家上一节公开课吧。】

    然後李东也就没有绕圈子，而是直接丢下了一个问题。

    【我先问问大家，为什麽是 p≡1(mod?)】

    李东虽然说是在问大家，但他也没有给别人回答的时间，直接就发了下一条回复。

    【因为只有这样，l次单位根才能放进 p进数域里。】

    【然後格兰特就试图用他论文里的引理 5.2来控制处理所有的素数。】

    【这其实是没有问题的。】

    【因为在 30年前，并没有今天的数学工具。】

    李东并没有将格兰特的论文批得一无是处。

    【格兰特已经走到了他那一代人的最前面。】

    【一个数学家用当时最好的方法得出了当时最好的结果，这件事本来就值得我们尊敬。】

    【就像肯普在 1879年发表了四色定理的证明，当时学界整整用了 11年，然後伍德希才找出了这个证明的缺口，那肯普不值得我们尊敬吗？】

    【但是数学不能因为尊敬，就不去验证它。】

    【而我们需要怎麽去验证它呢？】

    【我们需要一条完全独立，又能推到同一个位置的工具出现。】

    【而这个工具，上个月才出现。】

    【你们可以去看一看最新的数学新进展，顾铭的那篇论文。】

    【他在论文的第 41页，定理 6.3】

    【这条定理对一切有限阿贝尔 l群一致成立。】

    李东的回帖到这里就结束了。

    大概隔了 5分锺左右，才有人发出一条回复。

    【所以……不是格兰特公式证明顾铭的论文是错的。】

    【而是顾铭的论文证明了格兰特公式是错的。】

    李东看到了这条回复，他在屏幕前笑了笑，然後又补充了一句。

    【对，就是这个意思。】

    【顺带一提，你们再回去读一遍哈尔沃森教授的 comment。】

    【里面他从头到尾就没有说顾铭错，他只是把矛盾客观的写出来，那是他的疑惑。】

    【顾铭错了的这个结论，是你们自己想当然的。】

    李东说到这里以後，也就没有再纠结这个事。

    【好了，今天就到这里，下课。】

    【最後，顾铭，我知道你在看，我给你留个作业，把我今天上的这堂课正式写成一篇论文投出去。】

    【向西奥多格兰特教授致敬。】

    李东回复完这条帖子以後，就正式下线了。

    随後论坛里的所有人也都反应了过来。

    李东最後留下的这个作业，是让顾铭去写一篇正式的更正论文，证明格兰特公式在含单位根分支上的失效，并且根据他现有的这篇论文，给出修正後的局部因子。

    要知道，在学术界更正论文的分量其实不亚於原始论文。

    而更正格兰特公式，这个荣誉足以让任何人在数学史上留名。

    虽然这是李东留给顾铭的作业。

    但其他人也能做呀，就看谁做得快了。

    想到这里，大家纷纷的下线。

    几乎同一时间，全球不下 20个研究组打开了顾铭的论文。

    他们要把其中的定理 6.3作为新的独立工具，去重新验算格兰特公式在p≡1(mod?)分支上的每一步推导。

    当然这只是其中的一步，剩下他们至少还要面临好几道难关。

    比如，渠道分布的唯一性论证啊，还有含单位根分支上重建带是同构加权的局部因子啊。

    虽然很难，但大家都觉得自己能够克服。

    可是他们并没有意识到一个问题，那就是顾铭的这篇全部矩的论文，为什麽他们写不出来？

    有些时候你不亲自去走一下那条路，有些坎，你是永远不知道怎麽迈的。

    这也是李东为什麽敢在论坛上把作业直接留给顾铭的原因。

    而且此时有一件事，已经悄然的在数学圈里确定了。

    当所有人都拿着顾铭论文里的定理 6.3，去当做工具，去解决格兰特公式的问题。

    这就说明顾铭的【在galois群为s?的五次数域上，证明类群?-挠子群的任意阶矩都收敛到clm预测的分布】这篇论文已经被大家接受了。

    它其中的定理 6.3将代替格兰特公式成为新的数学工具。

    而且将代替 10年、20年，也许更久。

    但无论多久，只要後来的数学家在论文的参考文献里写下它时，那他们引用的就不再是格兰特，而是顾铭。

    ……

    与此同时，水木和燕大的bbs好像一夜之间又活了过来。

    【谁把我 3天前删掉的庆祝的帖子还给我啊？】

    【你不知道自己重发吗？而且你可以在开头加几个字——我早就说过。】

    就在李东的这堂公开课过去3天後。

    哈尔沃森教授发了一篇新的帖子。

    【过去的 72小时里，我重新验算了我comment里的每一个数字。】

    【也重新研读了格兰特的原始论文。】

    【现在我依然维持我的原判，二者必有一处需要修正。】

    【但现在我知道了，是谁需要修正了。】

    【在此我想感谢李东教授的这堂公开课。】

    【也允许我向顾铭先生致意。】

    【你的定理比我们所有人的直觉都可靠。】

    【我已经向 neukirch编委会建议，在下一版中对涉及格兰特局部因子公式的章节进行修订】

    【毕竟旧的地基裂了缝，也并不全是坏事，因为新的地基已经出现了。】

    【而且我个人建议，以後在引用修正後的局部因子时，不管是谁先发出来，我们都可以将其称为顾铭因子。】

    【因为没有顾铭的这篇论文，我们将继续错下去。】

    哈尔沃森教授这条帖子一发出来，风向瞬间就改变了。

    几天前，所有人都在等顾铭的撤稿声明，而现在，所有人都在改自己论文里的参考文献。

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